Indice degli argomenti

  • Introduzione

    INTRODUZIONE

  • Informazioni Generali

    Titolo del corso: Geometria 3

    Docente: prof. Francesco Mazzocca

    N.ro CFU (crediti formativi universitari) : 8

    • Obiettivi formativi e programma

      OBIETTIVI  FORMATIVI

      Acquisizione dei risultati fondamentali e dei metodi di base della topologia generale e della topologia algebrica. 

      PROGRAMMA

      ELEMENTI DI TOPOLOGIA GENERALE.   

      Definizione di spazio topologico. Esempi notevoli di spazi topologici. Insiemi chiusi. Topologia di Zariski di Cn. Interno di un insieme. Intorni. Sistemi fondamentali di intorni. Basi. Punti di aderenza e di accumulazione. Derivato di un insieme. Insiemi perfetti. Insiemi densi. Frontiera di un insieme.
      Funzioni continue in un punto. Funzioni continue. Omeomorfismi.

      Sottospazi di uno spazio topologico. Prodotto di spazi topologici. Spazi topologici quozienti.

      Assiomi di separazione e di numerabilità. Spazi separabili.
      Spazi metrici. Esempi di spazi metrici. Topologia indotta da una metrica. Spazi metrizzabili. Assiomi di numerabilità e di separazione negli spazi metrici. Sottospazi di uno spazio metrico. Successioni convergenti. Successioni di Cauchy. Spazi metrici completi.
      Spazi topologici connessi. Connessione e connessione per poligonali in       Rn. Spazi connessi e applicazioni continue. Componenti connesse.
      Spazi topologici compatti. Spazi compatti e applicazioni continue. Compattezza in       Rn.

      ELEMENTI DI TOPOLOGIA ALGEBRICA

      Categorie e funtori. Esempi notevoli di categorie. Oggetti equivalenti ed equivalenze in una categoria. Sottocategorie. Il funtore “componenti connesse”.
      Archi e lacci in uno spazio topologico. Lemma di incollamento. Concatenazione di archi e lacci. Connessioni per archi. Sottospazi connessi e sottospazi stellati di Rn. Componenti connesse per archi. Omotopia (libera) tra mappe di uno spazio topologico in un altro. Omotopia lineare e insiemi convessi. Omotopia tra mappe costanti. L’omotopia sull’insieme delle mappe tra due spazi topologici è di equivalenza. Equivalenze omotopiche e spazi omotopicamente equivalenti. Spazi contraibili e esempi notevoli.

      Omotopia di mappe tra coppie di spazi. Omotopia tra lacci. Gruppo fondamentale di uno spazio topologico puntato. Indipendenza dal punto base del gruppo fondamentale per gli spazi connessi per archi. Funtorialità del gruppo fondamentale.
      Gruppo fondamentale ed equivalenze omotopiche. Spazi semplicemente connessi. Esempi notevoli di spazi semplicemente connessi. Gruppo fondamentale della sfera n-dimensionale, n>1. Gruppo       fondamentale della circonferenza. Teorema dell’invarianza della dimensione per R2. Teorema del punto fisso di Brouwer in dimensione due. Calcolo del gruppo fondamentale di sottospazi notevoli di Rn. Utilizzo del gruppo fondamentale per provare che due spazi non sono omeomorfi. Teorema fondamentale dell’algebra. 

      • Appunti del Corso